¿Por qué siempre hay al menos una raíz compleja?
En ℝ, polinomios como x² + 1 no tienen ceros. En ℂ, en cambio, x² + 1 = (x − i)(x + i). El teorema fundamental del álgebra afirma que todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos un cero en ℂ; por tanto, grado n ⟹ exactamente n ceros contando multiplicidad.
Intuición: un polinomio es una función entera que crece mucho cuando |z| es grande (el término líder domina). Si no tuviera ceros, 1/p(z) sería entera y acotada, lo cual contradice el teorema de Liouville. Otra vía clásica usa el principio del argumento: el número de vueltas de p(z) al rodear un contorno grande coincide con el grado.
Mové los sliders: cada raíz es un punto z donde p(z) = 0. Raíces repetidas comparten posición pero tienen multiplicidad mayor.