Factorización: p(z) = a_n(z − z₁)⋯(z − z_n)

¿Qué dice exactamente el teorema fundamental del álgebra?

Teorema. Sea p(z) = a_nzⁿ + ⋯ + a₀ un polinomio con coeficientes complejos y a_n ≠ 0. Entonces p tiene exactamente n raíces en ℂ, contadas con multiplicidad.

Forma factorizada. Existen números complejos z₁,…,z_n (no necesariamente distintos) tales que p(z) = a_n(z − z₁)(z − z₂)⋯(z − z_n). Cada factor (z − z_k) aporta una raíz z_k: al evaluar z = z_k, ese factor se anula y p(z_k) = 0.

Multiplicidad. Si (z − z_k)^m divide a p pero (z − z_k)^m+1 no, entonces z_k es raíz de multiplicidad m. En la lista de factores, aparece m veces el mismo cero.

Consecuencia. La suma de multiplicidades es n = gr(p). Por eso un polinomio de grado 4 se escribe con cuatro factores lineales (contando repetidos).