Hay una escena que se repite en cada elección con más de dos opciones serias. Dos candidaturas se pelean el centro. Aparece un tercero, cercano a una de ellas. No gana. A veces ni llega lejos. Pero alcanza para partir el voto de un bando y entregar la victoria al otro. La bronca pública habla de “votos robados”, de “el sistema está roto”, de traiciones tácticas. Kenneth Arrow, en 1951, mostró algo más incómodo y más preciso: bajo un diseño concreto, no existe una regla que tome los rankings de cada persona, produzca un ranking colectivo, y cumpla a la vez tres virtudes que suenan de sentido común.
Eso no dice que “la democracia es imposible”. Dice que ese combo de exigencias no entra en una sola máquina. El resto es diseño: qué virtudes priorizar, qué tipo de boleta usar, y qué estamos dispuestos a sacrificar.
Esta nota tiene tres capas que se miran entre sí:
Si preferís empezar jugando: abrí el sitio, tocá Canónico, y recién después volvé al texto.
Un grupo tiene que decidir. Cada persona ordena las opciones: candidatas a un cargo, proyectos de un presupuesto, sabores de helado, papers que merecen un premio. La pregunta ingenua es: ¿cómo pasar de muchos órdenes individuales a una decisión colectiva “justa”?
La intuición dice que debería existir un procedimiento decente. Contamos, sumamos, eliminamos al último, premiamos segundos puestos. Arrow estudia una versión exigente del problema: no solo elegir un ganador, sino producir un ranking social completo. Quién queda primero, segundo, tercero. Eso se llama función de bienestar social (social welfare function, SWF).
Esa exigencia ya es una decisión de diseño. Muchas elecciones reales solo necesitan un ganador. Arrow mira el caso más fuerte: un orden colectivo sobre todas las alternativas. Si ni siquiera ahí se pueden sostener tres axiomas a la vez, el mensaje es estructural, no anecdótico.
Fijemos notación mínima. Hay candidatos, digamos
{A, B, C}. Cada votante entrega un ranking
estricto: un orden total sin empates. Un perfil es la
lista de rankings de todos. La SWF toma un perfil y devuelve un ranking
social.
Pedimos tres cosas:
Si todo el mundo prefiere X a Y, el ranking
social también. Si nadie defiende lo contrario, la sociedad no debería
inventar un gusto colectivo disidente. Es la versión débil de Pareto: no
ignores un acuerdo total.
La comparación social entre X e Y solo
depende de cómo cada votante compara X e Y. Si
alguien cambia de opinión sobre un tercero Z, o si entra o
sale un candidato que no gana, eso no debería dar vuelta el veredicto
entre X e Y.
IIA es el axioma más discutido. Suena limpio: “no mezcles peras con manzanas”. También elimina mucha información. Métodos como Borda usan los puestos relativos de todo el ranking; IIA les dice, en esencia, que eso es trampa conceptual. El spoiler de la pluralidad es, en buena medida, IIA rompiéndose en público: el mano a mano entre dos cambios porque aparece un tercero.
No hay un votante cuya preferencia estricta se copie siempre al ranking social, pase lo que pase con el resto. Si siempre ganara lo que quiere Ana, aunque el resto diga lo contrario, Ana es dictadora en el sentido técnico del teorema. No hace falta que Ana sea mala persona: el axioma prohíbe ese diseño.
Teorema de Arrow (versión estricta para rankings). Con al menos tres candidatos y al menos dos votantes, no existe una SWF que cumpla unanimidad, IIA y no dictadura a la vez.
La prueba clásica (hay varias; una muy corta es la de Yu, 2012) identifica un votante pivotal: alguien cuyo cambio de opinión, en un momento preciso, da vuelta el orden social entre un par. Después muestra que ese pivote, por contagio entre pares cuando hay una tercera alternativa, termina dictando todas las comparaciones. Unanimidad e IIA empujan hacia un dictador; el tercer axioma dice que eso no vale. Choque.
Qué no dice:
La lectura útil: si pedís demasiadas virtudes a la vez en el marco ranking-SWF, el sistema se rompe. Entonces hay que elegir. La pluralidad prioriza simplicidad y sacrifica IIA. Los métodos Condorcet priorizan los mano a mano y aceptan otras rarezas. Approval y score cambian la pregunta: ya no estamos en el mismo teorema.
Cinco votantes, tres candidatos:
Contemos los mano a mano:
Hay un ciclo de Condorcet: A vence a B, B vence a C, C vence a A. No existe alguien que gane todos los duelos. Cualquier método que elija un “ganador” acá está, de algún modo, cortando el ciclo con un criterio extra.
¿Qué hace cada familia?
Pluralidad. Solo mira el primero: A, A, B, B, C. Empate 2-2-1 entre A y B. El desempate por etiqueta (como en nuestra simulación) elige A. Ese desempate ya es política disfrazada de aritmética.
Borda. Asigna puntos por puesto (con 3 candidatos: 2, 1, 0). Suma todo el ranking. En este perfil gana B: B aparece segundo en las boletas de A y sigue fuerte en las suyas.
Minimax / Copeland. Miran los mano a mano. Minimax elige a quien pierde menos feo su peor duelo. Copeland suma victorias menos derrotas. En el canónico, ambos apuntan a A en nuestra implementación (A pierde un duelo, pero el patrón de márgenes lo favorece frente a otras lecturas).
IRV. Elimina al que va último en primeras preferencias y reasigna. Acá C sale primero; después el recuento entre A y B define.
Approval / score via ranking. Usan más información que un solo “tachito”. No son contraejemplos de Arrow: se salen del marco. En el sitio, el botón Utilidades (escape) muestra la diferencia: mismas personas, pero approval y score leen números, no solo el orden.
En el interactivo, Canónico carga exactamente este
perfil. Es el mismo que verifica el módulo Lean Canonical.
Tres capas, un solo ejemplo.
Supongamos, en otra elección, que sin el candidato C la sociedad (o el método) declara A > B. Entra C, que no gana, pero parte el voto de A. De pronto el método declara B > A. Las preferencias individuales entre A y B no cambiaron: solo cambió el entorno. Eso es una violación de IIA. La pluralidad lo hace todo el tiempo. No es un “error de implementación”: es el método respondiendo a una pregunta distinta (“quién tiene más primeros”) que no es la pregunta de IIA (“cómo queda A contra B mirando solo A vs B”).
Arrow no te obliga a amar IIA. Te obliga a admitir el costo si la abandonás.
| Método | Pregunta que hace | Qué suele soltar |
|---|---|---|
| Pluralidad | Quién tiene más primeros | IIA (spoiler) |
| Borda | Cuántos puntos por puesto | IIA |
| Minimax | Quién pierde menos feo mano a mano | Otras propiedades, según el caso |
| Copeland | Victorias pairwise menos derrotas | Empates y detalles de ciclo |
| IRV | Eliminar al último de a uno | IIA; a veces monotonía |
| Approval | A quién apruebo | Sale del marco ranking puro |
| Score | Qué puntaje le pongo | Sale del marco ranking puro |
No hay método “el correcto” en abstracto. Hay métodos que optimizan distintas preguntas. La tabla es un mapa de costos, no un ranking moral.
En el sitio hay un panel Monte Carlo. Genera muchos perfiles al azar y mide proxies honestos:
Dos modelos de preferencias:
Corrida de referencia (espacial 1D; 200 corridas; 25 votantes; semilla 7):
| Método | Eficiencia Condorcet | Regret medio | Cambio tipo IIA |
|---|---|---|---|
| Pluralidad | 28.5% | 0.73 | 0% |
| Borda | 91% | 0.01 | 18% |
| Minimax | 100% | 0.01 | 0.5% |
| Copeland | 100% | 0.01 | 0% |
| IRV | 49.5% | 0.53 | 0% |
| Approval | 82.5% | 0.06 | 15.5% |
| Score (via ranking) | 91% | 0.01 | 18% |
Lectura cuidadosa: minimax y Copeland clavan Condorcet cuando existe; pluralidad e IRV sufren. Borda y score (inducido del ranking) se parecen porque, en esta implementación, el score via ranking usa los mismos puntajes que Borda: el escape de verdad aparece cuando hay utilidades libres (botón Utilidades). La columna IIA no mide el axioma formal de Arrow al pie de la letra: es un estrés operativo con un spoiler insertado. Sirve para ver sensibilidad, no para cerrar un juicio filosófico.
No hay “voluntad verdadera” escondida detrás de la tabla. Hay trade-offs visibles. Eso ya es mucho más que un slogan.
Los CSV reproducibles viven en results/ del repo. En el sitio
podés repetir la corrida, cambiar semilla y exportar.
Además del texto y las simulaciones, el proyecto formaliza partes del argumento en Lean 4, un asistente de pruebas. La máquina no se impresiona con la prosa: o el paso está justificado, o no.
Qué está chequeado hoy:
(A,B) en el desacuerdo canónico, también decide
(A,C).Qué queda como residual documentado:
Esa honestidad importa. La divulgación a veces vende “demostramos
todo en la computadora” cuando en realidad hay un sorry
escondido. Acá el residual se declara. El valor del puente Lean no es la
victoria total: es obligar a no mezclar definiciones, y a separar lo
verificado de lo narrado.
Código: github.com/pablogventura/arrow.
Compilar: cd lean && lake build.
Arrow no es una maldición cósmica sobre cualquier agregación. Es un teorema sobre un marco. Si cambiás el marco, el teorema deja de aplicarse (o se aplica a otra cosa). Acá van las familias principales. El sitio las separa en dos columnas: Rankings vs Escapes. Esta sección es deliberadamente larga: después se poda.
Arrow asume que cada persona entrega un orden. Si la boleta pide otra cosa, ya no estás en el mismo juego.
Approval. Cada quien aprueba un subconjunto. En la simulación: umbral sobre utilidades (aprobar a quienes superan la media personal) o top-k del ranking. Gana quien más aprobaciones junta. Escape real cuando las aprobaciones no se reducen a un ranking rígido.
Score / range. Cada quien asigna un número (acá, utilidades en [0,1]). Gana quien maximiza la suma. Es el escape más directo hacia el utilitarismo. En el sitio, Score (utilidades) no es lo mismo que Score (desde ranking): el segundo es Borda disfrazado y no escapa de Arrow.
Majority judgment. Cada quien califica con una escala ordinal (rechazar / insuficiente / aceptable / bien / excelente). El ganador se decide por la mediana de calificaciones, con desempate estilo “usual procedure” (proporción por encima vs por debajo de la mediana). La boleta es de juicios, no de rankings estrictos.
STAR. Primero se suman puntajes; después hay un runoff automático entre los dos mejores. Híbrido numérico. En nuestras corridas espaciales suele pegar cerca de Condorcet.
Costos típicos de esta familia: hay que interpretar la escala; la gente puede hinchar o comprimir notas (estrategia); comparar “excelente” entre personas distintas es filosóficamente delicado. Arrow no los condena: tampoco los absuelve de otros problemas.
Arrow asume dominio universal: cualquier perfil de rankings es posible. Si el mundo real (o el modelo) solo admite perfiles single-peaked sobre un eje - cada persona tiene un pico y las opciones empeoran al alejarse - aparecen teoremas de posibilidad. El resultado clásico de Black: el candidato preferido por el votante mediano es ganador de Condorcet.
En el sitio:
| Métrica | Impartial culture | Single-peaked |
|---|---|---|
| Existencia de Condorcet winner | 92% | 100% |
| Eff. Condorcet (pluralidad) | 77% | 28% |
| Eff. Condorcet (minimax) | 100% | 100% |
| Regret score (utilidades) | 0 | 0 |
| Regret majority judgment | 0 | ~1.00 |
Lectura: en single-peaked casi siempre hay Condorcet; pluralidad igual puede fallarlo (elige extremos con más “primeros”). Score utilitario, por construcción, minimiza regret en estas sims. Majority judgment no optimiza la suma: puede acumular regret aunque el dominio sea “bonito”.
Si agregamos ruido (intercambiar adyacentes en el ranking), la
existencia de Condorcet baja un poco (~95.5% en
peakedNoisy). El escape por dominio es robusto solo
mientras el mundo se parezca al eje.
Acá no salís del input ranking. Soltás un axioma. Pluralidad, Borda, IRV, minimax, Copeland, ranked pairs (Tideman: cerrar victorias pairwise fuertes sin crear ciclos) viven acá.
No es un “escape” en el sentido estricto: seguís en el lenguaje de Arrow, pero aceptás que el entorno de candidatos puede cambiar el veredicto entre dos. A cambio podés ganar eficiencia Condorcet y, a veces, menor regret.
En espacial 1D / peaked (misma corrida):
| Método | Eff. Condorcet | Regret medio | IIA-stress |
|---|---|---|---|
| Pluralidad | 28% | 3.64 | 0% |
| Borda | 91% | 0.06 | 18.5% |
| Minimax | 100% | 0.27 | 1% |
| Copeland | 100% | 0.27 | 0.5% |
| Ranked pairs | 100% | 0.27 | 0% |
| IRV | 48% | 2.56 | 0% |
Minimax / Copeland / ranked pairs clavan Condorcet cuando existe. Borda se acerca y paga más IIA-stress. Pluralidad e IRV pierden Condorcet y acumulan regret.
Arrow pide un ranking social completo. Si solo necesitás un ganador (social choice function), la forma exacta del teorema cambia. Eso no significa “todo vale”: aparece el teorema de Gibbard-Satterthwaite. En una versión informal: con al menos tres alternativas, cualquier regla que siempre elija un único ganador, sea “onto” en un sentido razonable y no dictatorial, será manipulable por alguien que miente en su boleta.
Moraleja para el diseño: escapar de Arrow por el lado del ganador único te empuja a hablar de estrategia. Es otro capítulo; acá solo queda la señal de tránsito.
Dictadura aleatoria / lotería sobre rankings. Elegir un votante al azar y copiar su ranking cumple unanimidad e IIA en expectativa y evita un dictador fijo; introduce azar. Útil como contrapunto teórico, raro como propuesta institucional seria.
Agenda / orden de votaciones pairwise. Si votás A vs B y el ganador contra C, el orden de la agenda puede decidir el resultado cuando hay ciclo. El “escape” es ilusorio: controlás el resultado con el procedimiento, no con una agregación canónica.
Estas dos quedan documentadas para no olvidarlas; en una versión corta de la nota se pueden cortar enteras.
No elige el método correcto. No formaliza GS ni el teorema de posibilidad single-peaked en Lean. No simula mentiras estratégicas. El valor es el mapa: cada escape corta una hipótesis distinta.
Además del texto y las simulaciones, el proyecto formaliza partes del argumento en Lean 4, un asistente de pruebas. La máquina no se impresiona con la prosa: o el paso está justificado, o no.
Qué está chequeado hoy:
(A,B) en el desacuerdo canónico, también decide
(A,C).Qué queda como residual documentado:
Esa honestidad importa. La divulgación a veces vende “demostramos
todo en la computadora” cuando en realidad hay un sorry
escondido. Acá el residual se declara. El valor del puente Lean no es la
victoria total: es obligar a no mezclar definiciones, y a separar lo
verificado de lo narrado.
Código: github.com/pablogventura/arrow.
Compilar: cd lean && lake build.
Cinco actitudes posibles, todas legítimas si se declaran:
En todos los casos, el spoiler deja de ser un accidente moral y pasa a ser un síntoma de diseño. La pelea útil no es “el sistema es fraudulento” versus “el sistema es sagrado”. Es: ¿qué pregunta queremos que responda la boleta?
Sin vender un único método correcto, se puede defender una postura mínima:
Eso no cierra la política. Evita el salto mágico de “Arrow demostró que da igual”.
| Si… | Entonces, como primera opción de diseño… | Aceptá que… |
|---|---|---|
| El electorado es aproximadamente unidimensional | Condorcet / mediano (minimax, Copeland, ranked pairs) | Puede haber ciclos si el eje se rompe |
| Hay muchos candidatos y querés boleta simple pero no solo “primero” | Approval (con umbral claro) | La gente disputa quién “merece” aprobación |
| Podés pedir números y te importa el bienestar agregado | Score / range (utilidades o escala 0-10) | Inflación estratégica de puntajes |
| Querés juicios (“malo / aceptable / excelente”) más que suma | Majority judgment | No optimiza regret utilitario |
| Querés un híbrido score + duelo final | STAR | Sigue siendo boleta numérica, no ranking Arrow |
| Solo importa un ganador y la boleta será ranking | Relajar IIA a propósito (Condorcet o Borda); no fingir IIA | Spoiler / agenda / otros costos |
| La prioridad absoluta es el papelito más simple del mundo | Pluralidad | Spoilers frecuentes; mala eficiencia Condorcet en ejes |
Cómo leer la tabla: no es un ranking moral de métodos. Es un mapa si-entonces. En el sitio, el panel mediano y el Monte Carlo (IC vs peaked vs espacial) sirven para chequear si tu “si…” se parece al modelo que estás asumiendo.
Arrow no cierra el debate político: lo organiza. Obliga a declarar el marco (qué boleta, qué salida, qué axiomas, qué dominio) y a aceptar costos. La propuesta débil y la tabla condicional son brújulas, no dogmas: se pueden estudiar con un perfil de cinco personas, con mil perfiles al azar, con un eje de votante mediano, y con una prueba que una máquina mira por encima del hombro.
Si querés pelearte con el teorema, mejor hacerlo con las manos en un perfil concreto que con un slogan.
Probá el canónico, el mediano y el Monte Carlo: pablogventura.github.io/arrow.
Corridas de referencia: 200 perfiles, 25 votantes, semilla 7, tres
candidatos. Archivos en results/.
| Modelo | Tasa Condorcet winner |
|---|---|
| IC | 92% |
| Single-peaked / espacial 1D | 100% |
| Peaked + ruido | 95.5% |
| Espacial 2D | 91% |
| Mallows | 100% |
| Método | Grupo | Eff. Condorcet | Regret |
|---|---|---|---|
| Approval (util) | escape | 84% | 0.04 |
| Score (util) | escape | 85.5% | 0 |
| Majority judgment | escape | 78% | 1.00 |
| STAR | escape | 100% | 0.27 |
| Método | Eff. Condorcet | Regret |
|---|---|---|
| Pluralidad | 77% | 0.33 |
| Ranked pairs | 100% | 0.03 |
| Score util | 94% | 0 |
| MJ | 92% | 0 |
| STAR | 100% | 0.08 |
results/ic_vs_peaked_seed7.csvresults/ic_seed7_n200.csv,
peaked_seed7_n200.csv,
peakedNoisy_seed7_n200.csvresults/spatial1d_seed7_n200.csv,
spatial2d_seed7_n200.csv,
mallows_seed7_n200.csvresults/method_agreement_spatial1d_seed7.csvPablo Ventura (FaMAF).
Lecturas: Arrow, Social Choice and Individual Values (1951/1963); Geanakoplos (2005); Yu (2012); Black sobre el votante mediano; Balinski y Laraki sobre majority judgment; Gibbard (1973) y Satterthwaite (1975). Más en bibliografia.md.